面向研究的可视化：用图呈现论证
把函数、数据和读者的注意力放在同一张图上。
学习证据 学完后，怎么核对？
把学习结果留在一个可以回看、可以复做的动作里；这一区只写学生能自己检查的证据。
如何核对
- 完成一次函数/积分参数实验并解释误差
- 提交带 caption、单位和数据来源的图
适用边界
互动图使用合成函数帮助理解编码与数值误差；它不替代真实数据的抽样、误差模型和领域审稿。
最后复核
这是内容复核日期，不是学习截止日期。
讲
例子先问“这张图要证明哪一句？”
工程师小岚记录一辆小车的速度，想在报告里写“加速阶段的位移增加得更快”。她先画一条漂亮的三维曲面，读者却不知道颜色代表速度还是时间；换成二维曲线后，她把论证拆成可检查的链条：时间是横轴、速度是纵轴、曲线下面积是位移，切线斜率是某一时刻的加速度。图不是结论的装饰，而是把变量和推理顺序交给读者。
名词变量是被测量或计算的量（本课用时间 t，单位 s；速度 v(t)，单位 m/s）。编码是把量放到视觉通道：位置、长度、颜色或形状；定量比较优先用共同的线性位置/长度，颜色只做类别提示。尺度规定数值到像素的映射，必须写清范围、刻度和是否截断。不确定性说明读数、模型或抽样可能偏离真实值的程度，不能藏在一条“看起来很准”的线里。
定义同一条曲线上的三个可复算量
二维位置承载定量比较；阴影、切线和分割线各自服务一个论证动作。
在点 c 处，切线斜率是 f′(c)=limh→0[f(c+h)−f(c)]/h，它的单位是 (m/s)/s = m/s²。区间位移是 I=∫abf(t)dt，单位是 (m/s)·s = m。用 n 个等宽梯形近似时，h=(b−a)/n，Tn=h[(f(a)+f(b))/2+Σi=1n−1f(a+ih)]。若 f 二阶可导且 |f″|≤M，才可以使用 |I−Tn|≤M(b−a)3/(12n2) 作为误差上界；它不是每组数据都自动成立的保证。
| 对象 | 视觉编码 | 读者可复算的句子 | 边界 |
|---|---|---|---|
| 时间 t（s） | x 轴共同线性位置 | 同一刻在横轴上有唯一位置 | 不要把不等间隔采样误画成等间隔 |
| 速度 v（m/s） | y 轴位置；零线可见 | 曲线下面积的单位是 m | 负值表示反向，不可悄悄截到 0 |
| 不确定性 ±0.05 m/s | 误差带或误差棒 | 读数范围不是精确真值 | 测量误差不等于因果效应 |
泛化从“图形变化”写成“论证句”
每次拖动都要能补完一句话：“我改变了 ___（变量/尺度），图上 ___（编码）随之 ___，所以在 ___（区间/单位/误差边界）内，支持 ___（可复算命题）；它不能单独证明 ___（因果或外推）。”如果一句话说不完整，图很可能只是在制造注意力，而没有承担论证。
例
两个常见用法，再看一个容易把图读错的例子。每个例子都标出公式、单位和适用边界。
对速度模型 v(t)=0.4t²+0.5（t 用 s、v 用 m/s），在 t=2 s 处，v′(2)=0.8×2=1.6 m/s²。画一条经过该点的切线，读者能看到“此刻速度增加的快慢”，而不是把整段平均速度误称为加速度。边界：这是模型导数；若传感器每 0.5 s 才采一次样，切线应说明是插值或局部拟合，不是直接测得的瞬时真值。
在同一速度曲线的 [0,4] s 区间，真实位移为 I=∫₀⁴(0.4t²+0.5)dt=13.07 m（四舍五入）。用 n=4 个梯形得到 T₄=13.20 m，绝对误差约 0.13 m；把 n 加倍到 8，误差通常按 1/n² 量级下降。这里“通常”依赖函数足够光滑，且数值舍入、测量噪声可能成为更大的误差来源。
报告把 y 轴从 9.8 开始，两个只差 0.2 的均值看起来像“翻倍”；又用双 y 轴叠加温度和事故数，最后写成“温度导致事故”。错在哪：尺度隐藏了真实差距，双轴让不相同单位共享视觉斜率，观察数据没有控制混杂变量。修法：从 0 或明确标注截断，分别给单位和不确定性；把结论改成“在这段观察期内同步变化”，并列出需要实验或因果设计才能回答的后续问题。
函数论证实验台 · 从曲线到一句可复算的话
观察 → 操作 → 复盘：选择速度函数，拖动区间与分割数，切换切线；二维图、积分阴影、数值误差和论证句同步更新。
互动版需要运行脚本（本地 HTTP 预览）；不运行脚本时，上面的静态例子已包含同样的内容。
做
一张图显示“施肥量”和“产量”一起上升。最稳妥的写法是哪一句？
- 选一个可解释的函数或小数据集，写下自变量、因变量、单位、观测区间和数据来源（真实数据先去标识化）。
- 用共同线性尺度画二维图；若必须截断或用对数轴，在轴标题和 caption 中明说理由。不要用没有额外变量含义的 3D 深度。
- 加入一处可复算标记：切线斜率、积分阴影、误差棒或置信区间。把计算公式和一个带单位的数值放在图注或旁注。
- 写 caption：“图 1. 在 [a,b]（单位）内，___（变量）以 ___ 编码；数据来自 ___（版本/日期）。曲线/点的 ___ 表示 ___，不确定性为 ___。图支持 ___，不能单独推出 ___。”
- 请一位同学只看图和 caption 复述你的论证；若他猜不出单位、来源或边界，回到第 2 步修图。
怎么算过关：读者能从 caption 找到变量、单位、数据来源和误差；能复算一个标记值；你能指出一条图形支持的句子和一条不能越过的因果/外推边界。
卡
把函数曲线放进研究报告前，要检查哪四件事？梯形法的误差怎样随分割数变化？
检查变量/编码、尺度/单位、不确定性和论证边界；切线斜率是 f′(c)，积分是曲线下面积，梯形法在光滑条件下误差上界按 (b−a)³/(12n²) 缩放。n 加倍通常让离散化误差约降到四分之一，但测量噪声和模型误差不会自动消失。
- 位置/长度优先承载定量比较；颜色、形状只在有明确编码含义时使用。
- 公式、单位和误差边界和图形一起出现，读者才有复算路径。
- 图显示关联和模型结果，不凭视觉斜率越过研究设计去宣称因果。